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On appelle image d'une application f (d'un ensemble A vers un ensemble B) l'image directe par f de l'ensemble de départ Acite-ref-liret-1-0[1]. C'est donc le sous-ensemble de B contenant les images de tous les éléments de A, et uniquement ces images. On le note Im(f).

Im ⁡ ⁡ ( f ) = { y ∈ ∈ B ∣ ∣ ∃ ∃ x ∈ ∈ A f ( x ) = y } = { f ( x ) ∣ ∣ x ∈ ∈ A } = f ( A ) {\displaystyle \operatorname {Im} (f)=\{y\in B\mid \exists x\in A\quad f(x)=y\}=\{f(x)\mid x\in A\}=f(A)} .

Exemple : « L'image de la fonction sinus est le segment [–1, 1]cite-ref-liret-1-1[1]. »cite-ref-2[Note 1]

Une application est surjective si et seulement si son image coïncide avec son ensemble d'arrivée.

Une application est dite injective si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par f.

Une application est dite bijective si elle est à la fois surjective et injective, ce qui signifie que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent et que celui-ci est unique.

On peut aussi parler d'image réciproque d'une fonction qui est définie par:

Im ⁡ ⁡ ( f − − 1 ) = { x ∈ ∈ A ∣ ∣ f ( x ) ∈ ∈ B } = f − − 1 ( B ) {\displaystyle \operatorname {Im} (f^{-1})=\{x\in A\mid f(x)\in B\}=f^{-1}(B)}

• Notes et références

• Notes

• Références

• Articles connexes

cite-note-2Note 1. ↑ Cette affirmation n'est vraie que si l'ensemble de départ est l'ensemble des nombres réels R {\displaystyle \mathbb {R} } et est incorrecte si on généralise à l'ensemble des nombres complexes C {\displaystyle \mathbb {C} } .

cite-note-liret-11. liret2006fran-ois-liret2006François Liret, Maths en pratique : À l'usage des étudiants, Dunod, 2006, 600 p. (ISBN 978-2100496297, lire en ligne), p. 13

• Image d'une application linéaire

• Lemme des noyaux

• Catégorie abélienne

• Limite projective

• Noyau (algèbre)

• Image d'une fonction multivaluée (autrement dit : d'une relation binaire)

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